《冪函數(shù)》指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：課標闡釋
1.通過實例,了解冪函數(shù)的概念.
2.結合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x^(1/2)的圖像,了解它們的變化情況及簡單性質(zhì).
3.能運用冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關問題.
4.會用信息技術作冪函數(shù)的圖像.
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冪函數(shù)PPT，第二部分內(nèi)容：課前篇自主預習
一、冪函數(shù)的定義
1.請說出函數(shù)y=2x與y=x2的自變量的特征,y=x2是指數(shù)函數(shù)嗎?
提示:函數(shù)y=2x是前面剛學過的指數(shù)函數(shù),自變量x為指數(shù)冪的指數(shù).而函數(shù)y=x2中自變量x為指數(shù)冪的底數(shù).y=x2不是指數(shù)函數(shù),而是本節(jié)課將要學習的冪函數(shù).
2.一次函數(shù)和二次函數(shù)都是冪函數(shù)嗎?
提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分別為一次函數(shù)和二次函數(shù),但它們都不是冪函數(shù).一次函數(shù)中的y=x與二次函數(shù)中的y=x2才是本節(jié)課研究的結構形式,能稱為冪函數(shù).
3.填空.
一般地,函數(shù)y=xα稱為冪函數(shù),其中α為常數(shù).
二、函數(shù)y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的圖像與性質(zhì)
1.在同一坐標系內(nèi)作出上述五種函數(shù)的圖像.
回答以下問題:
(1)僅考慮第一象限內(nèi)的圖像,這五個函數(shù)的圖像都過哪個定點?
提示:點(1,1).
(2)函數(shù)y=x,y=x2,y=x3, 圖像所過公共點是哪個?
提示:點(0,0),點(1,1).
(3)這五個函數(shù)的圖像均不過哪個象限?你能發(fā)現(xiàn)更一般的結論嗎?
提示:上述五個函數(shù)的圖像均不過第四象限,一般地,對冪函數(shù)y=xα而言,當x>0時,必有y>0,故冪函數(shù)的圖像不過第四象限.
2.(1)在冪函數(shù)y=xα中,如果α是正偶數(shù)(α=2n,n為非零自然數(shù)),如α=2,4,6,…,這一類函數(shù)具有哪些重要性質(zhì)?
提示:重要性質(zhì):①定義域為R,圖像都經(jīng)過(-1,1),(0,0),(1,1)三點;②函數(shù)的圖像關于y軸對稱,即函數(shù)為偶函數(shù);③函數(shù)在(-∞,0]上為減函數(shù),在[0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).
(2)在冪函數(shù)y=xα中,如果α是正奇數(shù)(α=2n-1,n為非零自然數(shù)),如α=1,3,5,…,這一類函數(shù)具有哪些重要性質(zhì)?
提示:重要性質(zhì):①定義域、值域為R,圖像都過(-1,-1),(0,0),(1,1)三點;②函數(shù)的圖像關于原點對稱,即函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在R上是增函數(shù).
(3)當x∈[0,+∞),α>1與0<α<1時,冪函數(shù)y=xα的圖像有何不同?
提示:兩者圖像的區(qū)別和聯(lián)系:無論α>1還是0<α<1,函數(shù)y=xα在[0,+∞)內(nèi)都是增函數(shù),但在[0,1]內(nèi)前者比后者增得慢,在(1,+∞)上前者比后者增得快.
三、冪函數(shù)共有的性質(zhì)
1.冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義.
2.冪函數(shù)的圖像過點(1,1).
3.當α>0時,冪函數(shù)的圖像都過點(1,1)和(0,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
4.當α<0時,冪函數(shù)的圖像都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
5.做一做:已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是冪函數(shù)且是(0,+∞)上的增函數(shù),則m的值為 .
答案:-1
解析:由題意知m2-m-1=1,
∴m2-m-2=0,
∴m=2或m=-1.
當m=2時,f(x)=x-13,不符合題意,故舍去;
當m=-1時,f(x)=x2,符合題意,故m的值為-1.
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冪函數(shù)PPT，第三部分內(nèi)容：課堂篇探究學習
冪函數(shù)的概念
例1(1)已知點M(√3/3 "," 3)在冪函數(shù)f(x)的圖像上,則f(x)的解析式為( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x^(1/2) D.f(x)=x^("-" 1/2)
(2)下列函數(shù)中,是冪函數(shù)的為_________.(填序號)
①y=x^(1/3);②y=2x2;③y=x^(2/3);
④y=x2+x;⑤y=-x3.
答案:(1)B (2)①③
解析:(1)設冪函數(shù)的解析式為y=xα,則3=(√3/3)^α,
∴α=-2.∴y=x-2.
(2)①③的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),且系數(shù)為1,因此①③是冪函數(shù);②中x2的系數(shù)為2,因此不是冪函數(shù);④是由兩個冪函數(shù)相加而成的函數(shù),因此不是冪函數(shù);⑤不符合冪函數(shù)中xα前的系數(shù)為1的條件,因此不是冪函數(shù).
反思感悟冪函數(shù)的判斷方法
(1)冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣,也是基本初等函數(shù),同樣也是一種“形式定義”的函數(shù),也就是說必須完全具備形如y=xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù).
(2)如果函數(shù)以根式的形式給出,則要注意對根式進行化簡整理,再對照冪函數(shù)的定義進行判斷.
比較大小
例2比較下列各組數(shù)的大小:
(1)1.5^(1/2),1.7^(1/2).
(2)(-1.2)3,(-1.25)3.
(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.
(4)0.53,30.5,log30.5.
分析:(1)借助函數(shù)y= x^(1/2);(2)借助函數(shù)y=x3;(3)借助函數(shù)y=5.26x和y=x-1;(4)利用中間值法.
反思感悟比較冪形式的兩個數(shù)大小的常用方法:
(1)若能化為同指數(shù),則用冪函數(shù)的單調(diào)性.
(2)若能化為同底數(shù),則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.
(3)若既不能化為同指數(shù),也不能化為同底數(shù),則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為中間值來比較大小.
變式訓練三個數(shù)60.7,0.76,log0.76的大小順序是 ( )
A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76
C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7
答案:D
解析:因為60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0,
所以log0.76<0.76<60.7.故選D.
冪函數(shù)的圖像
例3 如圖是冪函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖像,則( )
A.n<0,m>1
B.n<0<m<1
C.m>n>1
D.n>m>1
答案:B
解析:由冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知,在第一象限內(nèi),若冪指數(shù)大于零,則函數(shù)為增函數(shù);若冪指數(shù)小于零,則函數(shù)為減函數(shù),故m>0,n<0.又由y=xm的圖像與直線y=x比較,得0<m<1.
反思感悟冪函數(shù)圖像的特征
(1)指數(shù)大于1,在第一象限的圖像類似于y=x2的圖像;
(2)指數(shù)等于1,在第一象限為上升的射線;
(3)指數(shù)大于0小于1,在第一象限的圖像類似于y=√x的圖像;
(4)指數(shù)等于0,在第一象限為水平的射線;
(5)指數(shù)小于0,在第一象限的圖像類似于y=x-1的圖像.
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冪函數(shù)PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
用待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式
典例已知冪函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f-1(x),且f-1(3√3)=√3/3,則f(x)的解析式為( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=x-3
C.f(x)=x^(1/2)D.f(x)=x^("-" 1/2)
方法點睛冪函數(shù)解析式y(tǒng)=xα中僅有一個常數(shù)α,故只需要一個條件即可確定冪函數(shù)的解析式,這樣的條件往往是已知f(m)=n或圖像過點(m,n)等.通常利用待定系數(shù)法求解,先設出冪函數(shù)的解析式f(x)=xα,再利用已知條件列方程求出常數(shù)α的值.
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冪函數(shù)PPT，第五部分內(nèi)容：當堂檢測
1.冪函數(shù)的圖像過點(2,4),則它的單調(diào)增區(qū)間是( )
A.(2,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
解析:設f(x)=xα(α為常數(shù)),由2α=4,得α=2,
所以f(x)=x2.故其單調(diào)增區(qū)間為[0,+∞).
答案:B
2.下列命題中,正確的是( )
A.當α=0時,函數(shù)y=xα的圖像是一條直線
B.冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(0,0)和(1,1)
C.若冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))是奇函數(shù),則y=xα是定義域上的增函數(shù)
D.冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限
答案:D
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