《平面向量的應(yīng)用》平面向量及其應(yīng)用PPT下載(第四課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例)
第一部分內(nèi)容：內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)
1.了解實(shí)際測量中專用名詞與術(shù)語．
2.熟練掌握正、余弦定理．
3.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的距離、高度及角度等實(shí)際問題.
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平面向量的應(yīng)用PPT，第二部分內(nèi)容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識(shí)點(diǎn)一 實(shí)際應(yīng)用問題中的專用名詞與術(shù)語
知識(shí)梳理 (1)基線：在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的_____叫做基線．為使測量具有較高的精確度，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度．一般來說，基線越_____，測量的精確度越高．
(2)仰角和俯角：在目標(biāo)視線和水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線_____的角叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線_____的角叫俯角(如圖①)．
(3)方位角：指從正北方向按_____轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．
(4)方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼�，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.
知識(shí)點(diǎn)二 解決實(shí)際問題的步驟
知識(shí)梳理 解三角形應(yīng)用題的一般步驟
[自主檢測]
1．為了測量B，C之間的距離，在河岸A，C處測量，如圖，測得下面四組數(shù)據(jù)，較合理的是( )
A．c與α B．c與b
C．b，c與β D．b，α與γ
2．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系是( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
3．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )
A．北偏東10° B．北偏西10°
C．南偏東10° D．南偏西10°
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平面向量的應(yīng)用PPT，第三部分內(nèi)容：課堂 • 互動(dòng)探究
探究一 求距離問題
[例1] 如圖，隔河看到兩個(gè)目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3 km的C，D兩點(diǎn)，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩個(gè)目標(biāo)A，B之間的距離．
[解析] 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝3(km)．
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
方法提升
1.測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長的問題．然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測量問題，然后運(yùn)用正弦定理解決．
2．如圖所示，不可到達(dá)的A，B是地面上兩點(diǎn)，要測量A，B兩點(diǎn)之間的距離，步驟是：
(1)取基線CD；
(2)測量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；
(3)在△ACD中，解三角形得AC，在△BCD中，解三角形得BC；
(4)在△ABC中，利用余弦定理得
AB＝AC2＋BC2－2AC•BC•cos ∠ACB.
探究二 求高度問題
[例2] 在平地上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在山坡D的正東，點(diǎn)B在山坡D的東南，而且在A的南偏西15°，且距A為1502 m的地方，在A處測山坡頂C的仰角為30°，求山坡的高度．
[解析] 如圖所示，在△ADB中，AB＝1502，∠ADB＝45°，
∠DAB＝90°－15°＝75°，
∴∠DBA＝180°－45°－75°＝60°.
方法提升
對(duì)于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測量問題，我們可選擇一條過建筑物底部點(diǎn)的基線，在基線和基線所在的平面上取另外兩點(diǎn)，這樣四點(diǎn)可以構(gòu)成兩個(gè)小三角形．其中，把不含未知高度的那個(gè)小三角形作為依托，從中解出相關(guān)量，進(jìn)而應(yīng)用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解決即可．
探究三 求角度問題
[例3] 某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離為10 km的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10 km/h的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以103 km/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間．
方法提升
1．三角形問題中，求某些角的度數(shù)時(shí)，最好用余弦定理，這是因?yàn)椋河嘞液瘮?shù)在(0，π)上是單調(diào)遞減的，由所求得余弦值，不用判斷角的個(gè)數(shù)問題(主要區(qū)別鈍角、銳角問題)，答案是唯一的，而正弦函數(shù)在(0，π)上不是單調(diào)的，因而求出正弦值后有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)，還需判斷角的合理性．若用正弦定理求角，應(yīng)結(jié)合具體圖形來判斷角的解的個(gè)數(shù)，也可盡量地利用直角三角形來解答．
2．測量角度問題的情境屬于“根據(jù)需要對(duì)某些物體定位”，測量數(shù)量越準(zhǔn)確，定位精度越高．
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平面向量的應(yīng)用PPT，第四部分內(nèi)容：課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)
函數(shù)與方程思想——解三角形應(yīng)用舉例中的應(yīng)用
直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
函數(shù)與方程思想在三角形應(yīng)用舉例中有著廣泛的應(yīng)用，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可以設(shè)出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對(duì)于三角形中的最值問題，可建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．
[典例] 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．
(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．
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