人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《直線和圓的位置關(guān)系》圓PPT優(yōu)質(zhì)課件(第2課時)，共36頁。
素養(yǎng)目標(biāo)
1. 會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點(diǎn)作圓的切線.
2. 理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.
3. 能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.
探究新知
切線的判定方法
直線 l 和⊙O有什么位置關(guān)系?
如圖，在⊙O中經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥OA,則圓心O到直線 l 的距離是多少？
這時圓心O到直線 l 的距離就是⊙O的半徑．
由d=r 直線 l 是⊙O的切線．
問題：已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)A作圓O的切線？
觀察：（1） 圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?
（2）二者位置有什么關(guān)系？為什么？
切線的判定定理
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
在切線的判定定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.
判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：
1.定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線;
2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；
3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
通過證明角是90°判斷圓的切線
例1 如圖,∠ABC=45°，直線AB是☉O上的直徑，點(diǎn)A,且AB=AC.
求證：AC是☉O的切線.
分析：直線AC經(jīng)過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AB即可.
通過證明垂直判斷圓的切線
例2 已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.
證明：連接OC(如圖).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半徑,
∴ AB是⊙O的切線.
證切線時輔助線的添加方法
(1) 有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;
(2) 無交點(diǎn)，作垂直,證半徑.
有切線時常用輔助線添加方法
見切點(diǎn)，連半徑，得垂直.
切線的其他重要結(jié)論
(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn);
(2)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.
切線的性質(zhì)定理
切線性質(zhì)
圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
性質(zhì)定理的證明
證法1：反證法.
證明：假設(shè)AB與CD不垂直,過點(diǎn)O作一條直徑垂直于CD,垂足為M.
則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾.
所以AB與CD垂直.
證法2：構(gòu)造法.
作出小⊙O的同心圓大⊙O，CD切小⊙O于點(diǎn)A,且A點(diǎn)為CD的中點(diǎn).連接OA,根據(jù)垂徑定理，則CD ⊥OA,即圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
利用切線的性質(zhì)解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.
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