《平面向量的運算》平面向量及其應(yīng)用PPT(第3課時向量的數(shù)乘運算)

《平面向量的運算》平面向量及其應(yīng)用PPT(第3課時向量的數(shù)乘運算)

第一部分內(nèi)容：學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律

掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線

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平面向量的運算PPT，第二部分內(nèi)容：自主學(xué)習(xí)

問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P13－P16的內(nèi)容，思考以下問題：

1．向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？

2．向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？

3．向量共線定理是怎樣表述的？

4．向量的線性運算是指的哪三種運算？

新知初探

1．向量的數(shù)乘的定義

一般地，規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個_______，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作_______，它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)|λa|＝_______．

(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向_______；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向_______；當(dāng)λ＝0時，λa＝_______．

名師點撥 

λ是實數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義．

2．向量數(shù)乘的運算律

設(shè)λ，μ為實數(shù)，那么：

(1)λ(μa)＝_______．

(2)(λ＋μ)a＝______________．

(3)λ(a＋b)＝______________．

3．向量的線性運算及向量共線定理

(1)向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的___________．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．

(2)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使_______．

名師點撥 

若將定理中的條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時，顯然a與b共線．

(1)若b≠0，則不存在實數(shù)λ，使b＝λa.

(2)若b＝0，則對任意實數(shù)λ，都有b＝λa.

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平面向量的運算PPT，第三部分內(nèi)容：自我檢測

1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)實數(shù)λ與向量a的積還是向量．(　　)

(2)3a與a的方向相同，－3a與a的方向相反．(　　)

(3)若ma＝mb，則a＝b.(　　)

(4)向量共線定理中，條件a≠0可以去掉．(　　)

2.  4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)

A．a(chǎn)－2b　　B．a(chǎn)

C．a(chǎn)－6b　　D．a(chǎn)－8b

3.若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是(　　)

A．b＝2a  B．b＝－2a

C．a(chǎn)＝2b  D．a(chǎn)＝－2b

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平面向量的運算PPT，第四部分內(nèi)容：講練互動

向量的線性運算

(1)計算：

①4(a＋b)－3(a－b)－8a；

②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；

③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.

(2)設(shè)向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．

規(guī)律方法

向量線性運算的基本方法

(1)類比方法：向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算．例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．

(2)方程方法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運用運算律，簡化運算．　 

向量共線定理及其應(yīng)用

已知非零向量e1，e2不共線．

(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點共線；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．

規(guī)律方法

向量共線定理的應(yīng)用

(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行．　 

(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合．例如，若AB→＝λAC→，則AB→與AC→共線，又AB→與AC→有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．

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平面向量的運算PPT，第五部分內(nèi)容：達標(biāo)反饋

1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于(　　)

A．2a－b　B．2b－a

C．b－a   D．a(chǎn)－b

2．若點O為平行四邊形ABCD的中心，AB→＝2e1，BC→＝3e2，則32e2－e1＝(　　)

A.BO→   B.AO→

C.CO→   D.DO→

3．已知e1，e2是兩個不共線的向量，若AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求證A，B，D三點共線．

證明：因為CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，

所以BD→＝CD→－CB→＝e1－4e2.

又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以AB→＝2BD→，所以AB→與BD→共線．

因為AB與BD有交點B，所以A，B，D三點共線．

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